Elasticiteiten

LaTeX using MathJax.


Update na aanpassing taal & structuur en revisie door Bart Capeau. Zijn bijdrage bevat trouwens evenveel wijsheid in minder woorden.

Probleem

Sommige gewoontes hebben we eenvoudigweg overgenomen. Als een leek dan interesse toont, is een verklaring meestal half zo gestructureerd als zijn vraag. Het meten van elasticiteiten door variabelen als logaritme te formuleren getuigt van zo'n bedrieglijke eenvoud. 

Uitleg

Voor het meten van de Wage Curve hebben we het loon gelinkt aan de werkloosheid. Lineair ziet zo'n functie eruit als volgt:

$$ W = A + bU $$
Met loon W, intercept A, werkloosheid U en coëfficiënt b. Stel nu dat we deze oefening maken in 87 landen, en we beschikken niet over een systeem om de lonen in prijspeilpariteiten uit te drukken. In dat geval hebben we nood aan een dimensieloze coëfficiënt b. Dat kan door te standaardiseren, maar we willen liever nog een stap verder gaan en uitdrukken hoe de relatieve verandering in één variabele zich verhoudt tot de relatieve verandering in een andere. Dat is niet zo'n exotische vraag als het lijkt, enkele voorbeelden:

• Als de kans op winst verdubbelt, hoeveel procent meer mensen zullen dan op de lotto spelen?
• Als je een bonus krijgt van een kwart van je inkomen, hoeveel meer auto's komen er dan in je garage staan?

Dit zijn vragen naar boogelasticiteiten, waarbij een toename expliciet gemaakt wordt. Stel je een grafiek met een convexe curve voor en een beweging langs die curve als een 'boog': dàt effect zal als elasticiteit, dus relatief ten opzichte van de startniveaus, worden uitgedrukt. Een puntelasticiteit daarentegen is de verandering voor een verwaarloosbaar klein verschil: men blijft bij wijze van spreken in één punt op de curve. De meeste mensen zullen spontaan een afgeleide van de functie maken om het effect te bekijken. Terecht, de puntelasticiteit is de relatieve uitdrukking van zo'n afgeleide. Tot slot is het mogelijk dat er geen verschil is tussen de boogelasticiteit. In dat geval spreken we van een constante puntelasticiteit is.

De gepaste econometrische oplossing voor het meten van puntelasticiteiten is het nemen van de log van de afhankelijke variabele en de onafhankelijke variabele waarvan je de elasticiteit wil berekenen. Controlevariabelen mogen in elke vorm verkeren. In het voorbeeld hieronder is er slechts één variabele aan de rechterzijde van de vergelijking, namelijk de werkloosheid U.

$$ \ln(W) = A + d \ln U $$
Laten we dit eens exponentiëren:
$$ W = \exp(A + d\ln U ) $$
Zo krijgen we een uitdrukking met factoren:
$$ W = \exp(A) \exp(d \ln U) $$
$$ W = \exp(A) \exp(d)^{\ln U} $$
Hier staat dat een vermeerdering van de werkloosheid met 1 log (dit is factor e ~ 2.72) een verandering in het loon met factor $ \exp(d) $ teweeg brengt. Een andere uitdrukking is:
$$ W = \exp(A) U^d $$
Bijgevolg is de verandering in W gelijk aan
$$ \frac{W'}{W} = \left(\frac{U'}{U}\right)^d $$
We zullen nu aantonen dat $d$ de puntelasticiteit is. Definiëren we daartoe de boogelasticiteit BE:

$$ \begin{aligned} BE & = \frac{\frac{W'-W}{W}} {\frac{U'-U}{U}} \\
& = \frac{\frac{W'}{W}-1} {\frac{U'}{U}-1} \\
& = \frac{\left(\frac{U'}{U}\right)^{d}-1} {\frac{U'}{U}-1}
\end{aligned} $$

Als het verschil in U zeer klein is, delen we door nul. Een gewone rekenmachine kan dit niet bereken, maar we vertrouwen de stelling van L'Hopital dat in zo'n limietgeval de oplossing gelijk is aan de ratio van de afgeleides van tellen en noemer. Bij de teller is dit $d$, bij de noemer 1. De puntelasticiteit is dus $d$.

Context

Project Loonvorming: naast het verklaren van de loondrift onderzoeken we in welke mate economische schokken (i.c. werkloosheid) de loonvorming beïnvloeden. Volgens Blanchflower & Oswald is er een quasi universele 'wage curve' die gekenmerkt wordt door een werkloosheidselasticiteit van het loon van -0.10. We onderzoeken of hier variatie in bestaat naargelang de paritaire comités.

Referenties

Nijkamp & Poot (2005) 'Last word on the Wage Curve'
Samuel L Baker - Non linear regression
Bijdrage-van-Bart